EL AFECTO MARIPOSA Y LO QUE CREEMOS QUE ES LA TEORÍA DEL CAOS

Hace años escuche por primera vez: la teoría del caos, como tan bien el efecto mariposa, cuyo aleteo en la otra parte del mundo podía desencadenar acontecimientos en otra parte. Esto es la perspectiva de un niño de ocho y diez años, que escuchaba, pero nadie explicaba lo que eran esos procesos, o mejor dicho, lo que se cree que son esos fenómenos, así que hoy día, con la supuesta claridad de un adulto, me he puesto a buscar información y aclarar lo que creemos que son dichos fenómenos. Así que empezaremos por el efecto mariposa.

¿QUÉ ES EL EFECTO MARIPOSA?

El "efecto mariposa" hace referencia a la noción del tiempo, a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos. La idea es que, por unas condiciones iniciales de un determinado sistema caótico, la más mínima variación en ellas, puede provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes. Dando así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande a mediano o corto plazo de tiempo. Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es:

Soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.

EL CONCEPTO DE EFECTO MARIPOSA

Esta interrelación de causa-efecto se da en todos los eventos de la vida. Un pequeño cambio puede generar grandes resultados o hipotéticamente, como citaba antes:

"El aleteo de una mariposa en Londres puede desatar una tormenta en Hong Kong"

La consecuencia del efecto mariposa, es que en sistemas complejos, tales como el estado del tiempo o la bolsa de valores, es difícil predecir con seguridad en un mediano rango de tiempo. Los modelos finitos que tratan de simular estos sistemas necesariamente descartan información acerca del sistema y los eventos asociados a él. Estos errores son magnificados en cada unidad de tiempo simulada hasta que el error resultante llega a exceder el ciento por ciento.

ENTONCES

Retomando el ejemplo de la pelota, dos pelotas, haciendo el mismo recorrido, llegaran de forma diferente a su destino, ya que las diferencias del recorrido que encontrara cada una, hará que este sea diferente al anterior.

¿QUE ES LA TEORÍA DEL CAOS?

Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas dinámicos sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinantes, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.
En el clima atmosférico se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del clima en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo.

SU CLASIFICACIÓN

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:

Estables

Inestables

Caóticos

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor o sumidero). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo. Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

QUE SON ATRACTORES

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo está implícito y cada eje representa una dimensión del estado.

Ejemplo:

Un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta es errabunda alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor. De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor periódico. Por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores no considerados.

EL ATRACTOR

Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos. La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo.

SU DEFINICIÓN

Los sistemas dinámicos suelen ser definidos en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos (iteración), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores. Los sistemas dinámicos procedentes de aplicaciones físicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa el movimiento cesaría. La disipación puede proceder de fricción interna, pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre otras causas. La disipación y la fuerza externa tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento típico. La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son conceptos muy relacionados con el de atractor:

• Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo cuando está sujeto a la legalidad del sistema dinámico. Los atractores pueden contener conjuntos invariantes.
• Un conjunto límite es el estado al que llega el sistema después de un tiempo infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que un sistema converja hacia un conjunto límite, pero que, una vez instalado en él, sufra pequeñas perturbaciones que lo alejen definitivamente del conjunto.

Por ejemplo, el péndulo real tiene dos puntos invariantes: el punto x₀ de mínima altura y el punto x₁ de máxima altura. El punto x₀ es también un conjunto límite, pues las trayectorias convergen en él; el punto x₁ no es un ciclo límite. Debido a la disipación, el punto x₀ es también un atractor. Si no hubiera disipación, x₀ no sería un atractor.

SU DEFINICIÓN MATEMÁTICA

En un sistema dinámico con dinámica f(t, •), el atractor Λ es un subconjunto del espacio de fases tal que:

• existe un entorno de Λ, llamado cuenca de atracción, al que converge cualquier sistema abierto que contenga Λ, y
• f(t, Λ) ⊃ Λ para t suficientemente grande.

Comúnmente se considera el atractor como un conjunto cerrado formado por los puntos de acumulación o convergencia de las órbitas, así el atractor propiamente dicho puede definirse como:

Siendo cualquier conjunto invariante tal que:

LOS TIPOS DE ATRACTORES

Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topo lógicamente extraños eran frágiles anomalías. Stephen Smale demostró que su mapa de herradura de caballo (herradura de Smale) era estructural mente robusta y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor. El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.

LOS ATRACTORES CLASICOS

En los atractores clásicos, todas las trayectorias convergen en un único punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un estado estacionario.

EL PUNTO FIJO

Un punto fijo o punto de equilibrio es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. Ejemplo: el estado final de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua.

EL CICLO LÍMITE

Un ciclo limite es una órbita periódica del sistema que está aislada. Un ejemplo: el circuito de sintonía de una radio.

EL TORO LÍMITE

Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gobernada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrará y el ciclo límite se convertirá en un toro.

EL ATRACTOR EXTRAÑO

A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen estructura a todas las escalas. Un atractor es extraño si tiene dimensión de Hausdorff no entera (o "fractal") o si la dinámica en el atractor es caótica. Ejemplo: mapa de Hénon, atractor de Rössler, atractor de Lorenz

LOS ATRACTORES EXTRAÑOS

La mayoría de los tipos de movimientos mencionados en la teoría anterior sucede alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos límite. En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, ellos que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa. Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente, de tipo Conjunto de Julia, la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típica mente una estructura de fractal. El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en dos o incluso una dimensión.

ALGO MÁS SOBRE ATRACTORES

Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describen la trayectoria elíptica de un sistema en movimiento caótico. Un sistema de estas características es plenamente impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con veracidad su configuración en un momento posterior. De todos modos, el movimiento no es completamente aleatorio. En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y, a veces, geométrica mente establecido. Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que lleguen a establecer los atractores. Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra; lo que aparece, en este caso, como algo indeterminado son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentar al objeto para efectuar este recorrido.

SUS APLICACIONES

La Teoría del Caos y la matemática caótica resultaron ser una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología. Gracias a estas aplicaciones el nombre se torna paradójico, dado que muchas de las prácticas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos. En Internet se desarrolla este concepto en Teoría del Caos, el tercer paradigma, de cómo la estadística inferencial trabaja con modelos aleatorios para crear series caóticas predictoras para el estudio de eventos presumible mente caóticos en las Ciencias Sociales. Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones, por ejemplo, en las áreas de la meteorología o la física cuántica, y actualmente hay varios ejemplos de aplicación en la arquitectura a través de los fractales, por ejemplo el Jardín Botánico de Barcelona de Carlos Ferrater.

EN METEOROLOGÍA

El tiempo atmosférico (no confundir con el clima), además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del tiempo un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción. Al final del siglo XX se ha vuelto común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día. Los modelos numéricos estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día. En estos días es posible demostrar la confiabilidad de las predicciones específicas para periodos de hasta cinco días gracias a la densidad entre las órbitas periódicas del sistema, y se han logrado algunos éxitos en la predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de hasta 30 días.

EN CONCLUSIÓN

La más mínima acción, tiene una alteración en cualquier reacción. Incluso el mero hecho de observar el fenómeno, porque sino lo observamos, sabemos a ciencia cierta que actuara así, o eso creemos, porque sino lo observamos como podemos estar seguro de la reacción a la acción, será como creemos que tiene que ser. O eso creemos que pasara.